Ableitung von Funktionen - Übungen
Funktionen ableiten - Beispielaufgaben mit Lösungen
1. Beispiel: f(x) = (3x² (2x + 5)) / (3x + 1)
Die Funktion f(x) = (3x² (2x + 5)) / (3x + 1) soll differenziert werden.
Offensichtlich müssen wir die Quotientenregel anwenden. Wir identifizieren zunächst die einzelnen Funktionen und leiten sie separat ab:
u(x) = 3x² (2x + 5) v(x) = (3x + 1)
u(x) = 3x² (2x + 5)
→ Hier ist die Produktregel erforderlich:
u'(x) = 6x (2x + 5) + 3x² 2 = 12x² + 30x + 6x² = 18x² + 30x
v(x) = (3x + 1)
v'(x) = 3
(v(x))² = (3x + 1)²
Setzen wir diese Werte in die Quotientenregel-Formel ein:
f'(x) = [(u'(x) v(x)) - (u(x) v'(x))] / v(x)²
f'(x) = [((18x² + 30x) (3x + 1)) - ((3x² (2x + 5)) 3)] / (3x + 1)²
Vereinfachen wir den Ausdruck:
f'(x) = [(54x³ + 108x² + 30x) - (18x³ + 45x²)] / (3x + 1)² = (36x³ + 63x² + 30x) / (3x + 1)²
Daher:
f(x) = (3x² (2x + 5)) / (3x + 1)
f'(x) = (36x³ + 63x² + 30x) / (3x + 1)²
Alternativ könnten wir die Funktion vor der Differentiation vereinfachen, indem wir zunächst die Klammer im Zähler ausmultiplizieren:
f(x) = (6x³ + 15x²) / (3x + 1)
Dies erspart die Anwendung der Produktregel.
Im Allgemeinen sollte man versuchen, die Funktion vor der Ableitung so weit wie möglich zu vereinfachen.
Dieses Beispiel verdeutlicht dies noch deutlicher:
f(x) = (3x² (2x + 5)) / 3x² = (2x + 5)
f'(x) = 2
Der Bruch lässt sich mit 3x² kürzen, was die Ableitung deutlich vereinfacht, obwohl die Ausgangsfunktion kompliziert erscheint.
Beachte, dass die Null nicht im Definitionsbereich liegt, da der Nenner nicht Null sein darf. Vereinfachungen dürfen den Definitionsbereich nicht verändern.
2. Beispiel: Baumwachstum
Das Wachstum eines Baumes lässt sich durch die Funktion f(x) = -0,005x³ + 0,25x² + 0,5x beschreiben. Dabei repräsentiert x die Zeit in Tagen, und f(x) die Baumhöhe in mm.
Frage:
Wie schnell wächst der Baum am ersten und am zehnten Tag?
Antwort:
Die Wachstumsgeschwindigkeit entspricht der Steigung, die durch die erste Ableitung ermittelt wird. Berechnen wir zunächst die Ableitung:
f(x) = -0,005x³ + 0,25x² + 0,5x
f'(x) = -0,015x² + 0,5x + 0,5
Diese Funktion gibt die Wachstumsgeschwindigkeit in Millimetern pro Tag an. Für den ersten Tag (x = 1) und den zehnten Tag (x = 10):
f'(1) = -0,015 1² + 0,5 1 + 0,5 = 0,985
Am ersten Tag wächst der Baum mit 0,985 mm/Tag.
f'(10) = -0,015 10² + 0,5 10 + 0,5 = 4
Am zehnten Tag wächst der Baum deutlich schneller mit 4 mm/Tag.
3. Beispiel: fa(x) = a x³ + 3a
Versuche zunächst selbst, die Funktion abzuleiten und vergleiche dein Ergebnis mit den Lösungen:
Vertiefung
f(x) = a x³ + 3a
f'(x) = 3a x²
x ist die Variable. Der Parameter a wird wie eine Konstante behandelt, daher entfällt +3a.
Es handelt sich um eine Funktionenschar, da für jede reelle Zahl a eine Funktion existiert.
Beispielsweise gilt für a = 2: f2(x) = 2 x³ + 3 2 = 2x³ + 6
Nun hast du einige Beispiele für Ableitungsregeln kennengelernt. Teste dein Wissen mit den Übungsaufgaben! Viel Erfolg!
Video: Fabian Serwitzki
Text: Chantal Rölle